Wärmeleitungsgleichung

Wärmeleitungsgleichung,

 

von J. Fourier zuerst formulierte, lineare partielle Differenzialgleichung vom parabolischen Typ, die bei nichtstationärer Wärmeleitung die sich in einem Körper einstellende räumliche und zeitliche Temperaturverteilung angibt. Die Temperatur T ist dabei eine Funktion des Orts r und der Zeit t. In einem homogenen, isotropen Medium lautet die Wärmeleitungsgleichung:

 

(a Temperaturleitfähigkeit, Δ Laplace-Operator). Die Lösung T (r, t ) der Wärmeleitungsgleichung hängt neben der Anfangsverteilung der Temperatur zum Zeitpunkt t = 0 v. a. von den Randbedingungen an den Begrenzungsflächen des Körpers ab, wie konstante Temperatur (z. B. Einbettung in ein Wärmebad), aufgeprägter Temperaturverlauf (z. B. an der Erdoberfläche durch Tages- und Jahresgang), Wärmestrom durch die Oberfläche (z. B. durch Wärmeabgabe).